矩阵的转置，就是交换一个矩阵的行和列，这种操作在日常生活中使用的频率并不低。
\(\newcommand\tuple[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\quaternion[4]{\langle #1,#2,#3,#4 \rangle} \newcommand\pr{\mathrm{P_R}} \newcommand\br{\mathrm{R}} \newcommand\bo{\mathrm{O}}\) Preliminary
设有偏序集 $(O, \preccurlyeq)$，有二元关系 $\br$ 以及偏序关系 $\pr$，其中：
\[\pr := \left \{ \tuple{X}{Y} \mid O \supseteq \tuple{a}{b} \xrightarrow{\br} \{X,Y\} \right \}\]且有偏序集 $(S, \pr)$，及 $A \cup B \cup C \subseteq S$，则：
\[(A,\pr) \cup (B,\pr) \cup (C,\pr) \subseteq (S,\pr)\]此时偏序关系 $\pr$ 的偏序取决于偏序关系 $\preccurlyeq_O$，由此可得：
\[O \times A \cup O \times B \cup O \times C \subseteq \br\]此时将 $O$，$A$，$B$，$C$ 组成一个 $m \times n$ 的矩阵 $M$：
\[M = \begin{bmatrix} O_1 & \dots & O_n \\ A_1 & \dots & A_n \\ B_1 & \dots & B_n \\ C_1 & \dots & C_n \end{bmatrix}\]M = [O, A, B, C]此时我要插入一行 $D \subset S$ 可以这样：
\[M = \begin{bmatrix} O_1 & \dots & O_n \\ A_1 & \dots & A_n \\ B_1 & \dots & B_n \\ C_1 & \dots & C_n \\ D_1 & \dots & D_n \end{bmatrix}\]M.append(D);而当我要插入一列 $m$ 元组比如 $\quaternion{O_k}{A_k}{B_k}{C_k}$ 时，插入的次数就达到了 $\bo(m)$ 次。 考虑到新矩阵的所有行仍需满足 $O$ 上的偏序关系 $\preccurlyeq_O$，最坏则要搜索 $\bo(mn)$ 次。
当这种插入操作非常频繁时，则可以考虑对矩阵进行转置，即交换行和列：
\[M^\top = \left\{ x \cup \{ x \xrightarrow{\br} S \} \mid x \in M_O \right\}, \qquad (M^\top)_{i,j} = M_{j,i}\] \[\text{即：}\qquad \begin{bmatrix} O_1 & A_1 & B_1 & C_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ O_n & A_n & B_n & C_n \end{bmatrix}\]column = range(len(M[0]))
mapTo = lambda construct: lambda f, l: construct(map(f, l))
Mt = mapTo(list)(lambda i: mapTo(list)(lambda row: row[i], M), column)转置后的矩阵 $M^\top$ 为一个 $n \times m$ 的矩阵。
由于我在处理数据的过程中使用的数据结构是列表而非集合，所以数据的偏序关系在最开始生成的时候就已经被确定下来了。
加上 Python 自身提供的 List-Comprehension 功能，转置的过程可以书写成更加简单的形式。
另外，如果在置转时将 $M^\top$ 中所有与 $O$ 持有二元关系 $\br$ 的元素组成一个 $m$ 元组，$M^\top$ 就能成为了一种非常方便操作的元组向量结构了：
\[M^\top = \Big\{ \big\langle \tau_i \big\rangle_{\tau \ \in \ M} \mid i \in M_O \Big\}, \qquad (M^\top)_{i,j} \equiv M_{j,i}\] \[\text{即：}\qquad \begin{bmatrix} \tau_1 \\ \vdots \\ \tau_n \end{bmatrix}, \qquad \tau \subseteq \quaternion{O}{A}{B}{C}\]Mt = [tuple(row[i] for row in M) for i in column]完整代码：https://gist.github.com/ldcc/23e64a7c01e95b49f912f39e5dd37bff。